頻出問題７：『順列・組み合わせ』
出題傾向と問題の概要
テストセンターで出題可能性のある問題です。
組み合わせの公式を覚えておき、何通りの組み合わせがあるかを計算します。
出題サンプル
学芸会で演劇をすることになり、演劇部に所属する男子生徒６人と女子生徒３人の中から出演してもらうことにした。
（１）男子生徒だけを３人選ぶとすると、その選び方は何通りあるか。
Ａ ８通り Ｂ 12通り Ｃ 16通り Ｄ 20通り
Ｅ 28通り Ｆ 36通り Ｇ 42通り Ｈ 48通り
Ｉ 60通り Ｊ Ａ～Ｉのいずれでもない
（２）男子生徒と女子生徒をそれぞれ少なくとも１人は選び、全部で３人選ぶとすると、その選び方は何通りあるか。
Ａ 20通り Ｂ 24通り Ｃ 32通り Ｄ 40通り
Ｅ 48通り Ｆ 63通り Ｇ 72通り Ｈ 81通り
Ｉ 90通り Ｊ Ａ～Ｉのいずれでもない
解答
「組み合わせの公式」…n個の中からr個を取り出す時、組み合わせ方の総数は、
n×(n－1)×(n－2)×…／r×(r－1)×(r－2)×…×1
つまり、分子はnから始めて1ずつ減らしてr個の数を掛け合わせ、分母はrから始めて1ずつ減らしてr個の数、つまり1までを掛け合わせる。
（１）
「６人の中から３人を選ぶ」ので、組み合わせ方の公式に当てはめると、
6×5×4／3×2×1＝20（通り）
したがって、正解はＤ．20通り。
（２）
設問の条件より、「男子生徒２人と女子生徒１人」の場合と「男子生徒１人と女子生徒２人」の場合の組み合わせの合計を求める。
【「男子生徒２人と女子生徒１人」の場合】
男子生徒は６人の中から２人を選ぶので、6×5/2×1＝15（通り）。
女子生徒は３人の中から１人を選ぶので、3（通り）。
よって、「男子生徒２人と女子生徒１人」の組み合わせは、15×3＝45（通り）。
【「男子生徒１人と女子生徒２人」の場合】
男子生徒は６人の中から１人を選ぶので、6（通り）。
女子生徒は３人の中から２人を選ぶので、3×2/2×1＝3（通り）。
よって、「男子生徒１人と女子生徒２人」の組み合わせは、6×3＝18（通り）。
したがって、全体の組み合わせは、45＋18＝63（通り）。
正解は、Ｆ．63通り。
ちなみに、組み合わせだけでなく順番も考慮する場合（「順列」という）、n個の中からr個を取り出す時の並べ方の総数は、「組み合わせの公式」の分子と同じ、つまり、
n×(n－1)×(n－2)×…（nから始めて1ずつ減らしてr個の数を掛け合わせる）
となる。
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